Раньше в духовных училищах и семинариях обучалось много детей из бедных семей духовного сословия. Они ходили в халатах, носивших название «затрапезных». Затем значение перешло на любую одежду дурного пошива, мятую, истрепанную, дозволительную лишь в семинарских стенах, за трапезой.

Оказывается, есть и другое объяснение. Известный ученый С.Максимов слово затрапезный связывает с фамилией Ивана Затрапезникова, которому Петр I передал в городе Ярославле ткацкую фабрику.

Фабрика изготовляла грубую и дешевую ткань, пригодную лишь для тюфяков, рабочих халатов, шаровар. Кстати, называлась эта простая материя пестрядь или затрапез.

Мне нравятся оба эти толкования, а уж какое из них верное — решать ученым-лингвистам.