1. Смотреть украдкой; заглядывать. Вот Верочка играет, Дмитрий Сергеич стоит и слушает, а Марья Алексеевна смотрит, не запускает ли он глаз за корсет (Чернышевский. Что делать?).
2. Проявлять корыстный интерес к чему-либо, желая присвоить что-либо. [Кочкарёв:] Есть ещё брат, который тоже запускает глаза на дом, — сутяги такого свет не производил: с родной матери последнюю юбку снял бы, безбожник (Гоголь. Женитьба).