Уйти с носом – обойтись без того, на что рассчитывал. Когда-то существительное "нос" (или, как вариант, "принос") имело значение "взятка". То есть, какие-то принесённые чиновнику средства. Если человек отказывался от этого "носа", то взяткодатель уходил с ним обратно, не добившись никаких положительных результатов.