Песенка спета – пришёл конец кому-то или чему-то. Происходит от другого известного выражения - "спеть леб. ... "спеть лебединую песню", т.е., сделать что-нибудь в последний раз. Выражение это было известно еще в древности, и связано с поверьем, что лебеди поют в конце жизни.