Ломать голову – напряжённо, усиленно думать, пытаясь понять что-либо. Устойчивое сочетание, иронический фразеологизм, означающий: напряжённо думать над каким-то вопросом, пытаться понять нечто на пределе умственных возможностей, стараться решить трудную задачу или найти выход из запутанной ситуации.