Апогей славы (достигнуть апогея) — высшая степень чьей-либо популярности, расцвет чьей-либо деятельности. От слова «апогей» — наименования самой высшей точки лунной орбиты, а сейчас и наибольшего удаления искусственного спутника от Земли — и происходит наше выражение «апогей славы».

Луна, а также искусственные спутники Земли движутся вокруг нашей планеты по эллипсоидной орбите.
Точка, в которой орбита располагается ближе всего к земной поверхности называется «перигеем», что в переводе с греческого значит «около Земли», точка, в которой орбита проходит на самом далеком расстоянии «апогеем» — «вдали от Земли». То есть слова «апо» и «пери» — переводятся соответственно «далеко» и «близко», «ге» означает «земля».
От данных астрономических терминов и возникло выражение «Апогей славы». В общем смысле оно означает достижение самой высокой ступени могущества и процветания.