Что-то угнетает, тяготит кого-либо.
Орлов сидит, охваченный глухой и тяжёлой злобой, которая давит ему грудь, затрудняя дыхание (М. Горький. Супруги Орловы).
Я очень хорошо знал, что предстоявшая наша разлука давила её сердце, что Наташа мучилась (Достоевский. Униженные и оскорблённые).